为什么会有第二次数学危机 04

接下来的2节，我们来聊聊高等数学——微积分。

微积分的发展故事是很微妙，只要有初中数学水平也能看得到，接下来我们带你一起研究。

无穷小是微积分的根基。如果没有无穷小就没有微积分，没有弄清什么是无穷小，就等于没有弄清什么是微积分！在数学史上很长一段时间，人们就把微积分学称为无穷小分析。

这也是我们前面做了很多铺垫来讲“芝诺悖论”这个概念，然而，无穷小从芝诺悖论被提起之后，就像一把锋利的尖刀插在数学家和物理学家的身上，因为有些自然科学想统一却统一不起来。

芝诺悖论引发的关于无穷小、无穷大和连续的问题始终拷问着每个时代最杰出的大脑。无穷小观念的演变经历了漫长的过程，当逻辑不能够提供解决方法的时候，人们常常求助于直觉。直到19世纪，无穷小才最终被导数和积分的严格概念所取代。

17世纪的时候，人类科学面临四类问题。

第一类：研究运动物体时候出现了运动学问题，特别是求瞬时速度。比如你开着一辆车，每时每刻是否有一种方法能够显示出你当前的速度

第二类：曲线的切线问题，因为当时正在处理透镜设计的问题，需要用到曲线的法线

第三类：最值问题

第四类：求解曲线弧长、曲线围成的面积

这四类问题都是促成微积分诞生的主要原因。

而且这些问题都与一个特殊的困难有关：变量的瞬时变化率。

伽利略曾说，如果两个无穷小之比趋于零或无穷大，那么它们就具有不同的阶；如果两者之比是个非零的有限数，那么它们就同阶。这个思想就是，高阶无穷小是如此难以置信地小和快地趋于零，它们可以从一个方程里被忽略掉，因为它们对结果没有什么影响。这个思想对经典的微积分是至关重要的！

物理学定义，速度就是距离与时间之比的变化率，即速度是位置的变化率。

变量的变化率，强调的是它们正在变化的这一事实。

芝诺悖论的飞矢不动说，在一个瞬间，没有这样的速度，因为在一瞬间没有消耗时间，因此不可能有运动。真实情况是，比如每个驾驶汽车的人，在每个瞬间都有一个真实的速度，这是确定无疑的。

一般情况下，使用平均速度这一概念就可以了，但当物体以变速运动时，首先就产生了处理瞬间速度的问题。平均速度人们很容易理解，即距离除以时间。

但是，求平均速度的方法，是得不到瞬时速度的，因为在一瞬间，物体运动的距离是零，所花的时间也是零，而零除以零是没有意义的。

所以，必须找到一种非同寻常的方法，才能成功定义和计算出瞬间速度。当时的科学家们缺乏对瞬时速度的精确清楚的认识，除此之外，也缺乏计算瞬时速度的方法。

后来，人们发现，瞬间速度是，当时间间隔趋于零时，平均速度所趋近的那个数值。

人们通过把定义和计算瞬时速度的方法推而广之，可以利用计算在某一时刻的距离与时间变化率相同的数学过程，去计算一个变量对另一个变量的变化率。

例如，距离对时间的瞬时变化率是速度，速度对时间的瞬时变化率是加速度。

好吧，越来越清晰了！

（导数的几何意义：割线PQ的斜率为平均变化率，当自变量的Δx趋于零时的平均变化率即为P点的瞬时速度，即过该点切线PT的斜率。）

为了处理瞬时速度概念，数学家们已经将空间和时间理想化，正是通过这种理想化，数学不仅仅产生了一个瞬时速度的概念，而且给出了公式，一个变量对另一个变量的瞬时变化率称为导数。

导数的概念可以由这样一个物理概念提出：某段无穷小时间内的速度。导数的本质即瞬时变化率，而瞬时变化率是增量的极限。

导数的几何意义体现在曲线上的割线运动，而割线运动时也有一个平均变化率，当对这个平均变化率取极限时，割线就变成了切线，这时割线的平均变化率就是割线与切线重合时的瞬时“速度”，也就是切线的斜率。所以，导数的几何意义就是曲线在某一点的切线的斜率。

这个时候虽然牛顿用导数解释了速度与加速度之间的物理含义，但遗憾的是，他的理论还是有个缺陷，那就是还是没有解释无穷小这个概念。和牛顿一起发明微积分的莱布尼茨也是含糊不清。

然而这个时候一位大名鼎鼎的唯心主义哲学家，贝克莱对牛顿的理论产生质疑，你说的无穷小时间到底是不是零？如果是零，他不能做分母哦，如果不是零，那岂不是你求解的还是一个平均速度，并非瞬时速度。牛顿.... 无语。

牛顿只能说，就是很小很小，忽略不计，可惜这也辩论不过贝加莱。但岂不知，对于无穷小这个概念最后是由一百年后的奥古斯丁.路易斯.柯西和卡尔.魏尔斯.特斯拉给出的。

如果物理学使用含义不明确的无穷小还能说得过去，但是数学是绝不允许含糊的。

贝克莱提出的无穷小悖论是一次实实在在的数学危机，史称“第二次数学危机”。这个危机的来源就是牛顿解释不清楚无穷小是什么。

吴军说：某个时代的危机，并不是这个时代本身的人能解决的，因为所谓的时代危机是因为它的成因超出了那个时代所有人的认知，才会形成危机，因为解决危机，总是需要后面的人发展新理论来解决。

话说，当年量子力学出现的时候，那个时代的人无法理解量子力学中粒子鬼魅般的活动。这部分我们后面聊。

下一节，我们聊聊这个危机是怎么解决的吧。

总结：

从今天的文章来看，给我以下启发：

1、相信时间的力量，相信优化的力量。

很多人喜欢一次性把事情做到位，其实这是不可能的。就连伟大的自然哲学——数学都要经历几千年的历程，经历过世世代代的洗礼才能完成，何况是你手头一个小小的任务呢。

我自认为做事情要保持优化，也就是就像开发软件一样，第一次先做一个初版，然后再迭代。迭代来自于你自身“品味”的提高，以及旁人的反馈。所以最好，我们对待事情的本质就应该用批判性思维。

2、思想很重要

你说思想很重要，其实也就是理论很重要。

我们现代人总是局限于执行力去努力做一件事情，但是往往忽略了理论的重要性，虽然说理论务虚，操作务实。

但是没有理论的支持，你的根基就是空洞，随时都可能倒塌。

我认为学习任何技术，我们不能光学技术本身，比如某个操作，很简单。但是你不了解原理就很容易忘记，也很难从事情本身去萃取经验和方法论。

Masir 2021/5/24 于东莞

祝幸福~