本系列文章预计会有30个章节，这套文献将系统讲物理学系统本身，这里是第九季第1篇大家好，这里是Masir的物理学第九季专栏，本季度开始写作之前我还未明确这一季的真实主题是什么，但大致会围绕着科学来讲，主要包含数学和物理学。由于工作原因可能更新节奏没有之前那么快，还望见谅，我们的知识还是会不间断发布出来。1886年，数学利奥波德·克罗内克说过一句名言: “上帝自己创造了所有的数字ーー其他的一切都是人类的杰作。”事实上，数学家们已经引入了除了用来计数的数之外的新的数集，并且他们已经努力去理解它们的性质。——引言
昨天看了万维钢在精英日课里更新的课程《数学是真实存在的吗？》这个话题颇有启发，对于这个话题，我想起之前第五季第六篇写过的一篇文章，文末链接贴出来可感兴趣可以先做回忆，那么这一讲其实是这个基础上的升级版。
没错，科学这个东西就是所谓的另一种经典，也许它是错的，也许是对的。但无论怎样它都是永恒的！想象你身处在一个封闭的房间里，孤独一人在这个空间内“享受”这人生的美好。这里只有一张桌子、一把椅子、很多张纸和一支笔。你看不见外面有什么，你也不知道这个世界是什么样的，甚至你都不知道为什么这里会有一个你自己！但是，你要相信就这点小世界，并不会平庸，因为你即将发现一个新大陆。可能有一天你觉得无聊，所以掰掰你那白嫩的10根手指，你会发现，原来有1、2、3..所谓自然数的概念。你可以用笔在纸上画圆圈 ... ，你也发现原来有了数，就可以做加法做减法，1根手指加3根手指，是4根手指，数圆圈也是如此，怎么算都是如此。把加法做个“逆运算”，就得到了减法，比如4 - 3 = 1，四个手指头挡住3个，还剩1个。那既然4减3可以，3减4可不可以呢？直观的看法是小数减大数没意义。万维钢老师说：“我们可以有一点“推广”精神，我们希望把每一种运算都推广到允许所有的数参加。而要允许3减4，你只需要引入「负数」：3 - 4 = -1。”做了很多加法之后，你意识到同一个数连续相加几次 —— 比如三个4相加 —— 这个过程可以用一个更简化的算式表达，那就是「乘法」：4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12。既然有乘法，那我们就想给乘法也安排一个“逆运算”，于是就有了除法，12/4 = 3。同理，继续发扬“推广”精神，只要再引入一种新数 —— 叫做「分数」就可以了。你看，你从数数开始，只是使用了无比自然的“逆运算”和“推广”这两个思想，再加上合理的逻辑，就已经推导出了分数。这个过程还可以继续进行。把两个相同的数相乘，就是「平方」。再给平方安排一个“逆运算”，就是「开方」。2的平方是4，4的开方是2。接下来，同样的套路，我们把开方这个运算推广到所有的数上面。2能不能开方？你得到了√2。√2 是个全新的数。它比1大比2小，显然不是一个整数。如果你足够聪明，你还可以证明它不是一个分数。我们这里没时间细讲，但是那个证明不需要什么额外的信息，使用反证法就可以。√2，是个「无理数」。无理数的发现在历史上冲击过人们的观念，但√2是个不可缺少的、实实在在的数。你画一个边长是1的正方形，它的对角线的长度就是√2。我们继续推广。负数，可不可以用来做开方呢？√-1可以吗？这需要再引入一种新数，叫做「虚数」。我们可以用字母 i 代表√-1。物理学家会发现，有了虚数，电磁学方程会变得非常整齐好看。但在数学家看来，引入虚数并不是为了给物理学服务，物理的应用只是个意外收获：虚数只不过是我们“推广”精神的产物，是已知数学版图的自然拓展。而且也不是每一次推广都能引入新的数。比如你可能会想把开方运算用到虚数上，√i 可以吗？可以！但它并不是一种新数，它可以写成一个实数和一个虚数之和，也就是复数 ——要想继续引入新数，我们需要更高级的推广... 包括方程、多项式等等，我们就不一一列举了！下面这张图描写了复数、实数、有理数、整数、代数数之间的关系 [1] ——
该图显示了各种数字之间的关系。无理数是任何非有理数的实数，超越数是任何非代数的复数。答：哪怕明天天崩地裂也好，宇宙不存在了也好，圆周率 π 也肯定还是个超越数。数学大厦一块砖都不会少，我们还是可以从一个小黑屋里重新发现它。也就是说就算宇宙不存在，但是数学依然存在！这是多么高等级的一个认知评价啊，可以说，数学就是上帝。你可能会说，不对啊，人才是这个世界的主宰，人有思想有意识，数学只是个工具。可是，意识就是一种幻象。连我们生活的世界都可能是计算机模拟出来的。而如果什么都是幻象，「现实」还有底线吗？你看啊，我们从数手指头出发，只用了“逆运算”和“推广”这两招，就得出了超越数这样怪异到连当今最了不起的数学家也没完全搞明白的东西来。你体会一下这个过程。所有这些数都不是从天上掉下来的，不是凭空的想象 。换个聪明的外星人来做，我相信，也会得到同样的结果。数学世界是真实存在的，这个信念最早是柏拉图提出来的。至少四个理由 第一，数学的任何性质都不是你能随便「发明」的，你只能发现。比如说，只要你定义了虚数 i² = -1，那么 i 的其他性质，就是固定的了，谁来算都是一样的。因为你没有选择的自由度，所以这不叫发明，这叫「发现」。第二，数学大厦里，人们从不同的途径、用不同的方法推导出来的所有理论，都是互相自洽的，没有矛盾。如果张三说这座楼的三楼最左边的房间里有三个窗户，李四却说有四个窗户，我们大概可以猜测那个房间是虚构的 —— 但是所有探索者的发现没有矛盾，那就说明这座楼是真的。第三，数学跟物理学有奇妙到不可思议的联系。为什么所有的物理定律都能用精确的数学方程描写，为什么这个宇宙里的事儿如此地符合数学呢？最早问出这个问题的是物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner），我们专栏以前讲泰格马克的《穿越平行宇宙》那本书时专门说过这个道理。我认为最可能的解释是，我们这个世界其实是数学世界的一个投影。第四，把数学视为比我们生活的这个世界更真实的存在，其他的事情就变得非常方便：比如你可以把一切运动都视为计算，你也无需纠结“计算机模拟是不是一种真实”之类的问题了 —— 只要是符合数学的就都可以看做是真实的。另外，关于数学的演化推荐大家看副标题的一个短片，挺有意思哈～1.https://www.dedao.cn/course/article?id=BM30m4na5NkyKQQle1KjvDg7Eowd2G