铭记：他是最后一个将“微积分”用数学语言定义清楚的人！
大家好，我是科学羊🐏，这里是数学故事专栏第2季第3篇。
对于数学发展来说，1855年，这个重要的历史节点，不仅标志着数学巨匠高斯的逝世，也意味着与前一个世纪杰出的数学家们最后的联系被切断。
在这个年份，我们今天的主角魏尔斯特拉斯（1815—1897）年40，克罗内克（1823—1891）32岁，黎曼（1826—1866）29岁，戴德金（1831—1916）24岁，而康托尔（1845—1918）还只是个10岁的孩子。
显然，德国数学界并不缺少新鲜血液来继承和发扬高斯的伟大遗产。
在那时，魏尔斯特拉斯刚刚开始获得广泛的认可，克罗内克正处在事业的起步阶段，而黎曼已经完成了一些影响深远的工作，戴德金正逐步进入他在数论领域将获得巨大成就的阶段。
至于康托尔，他还在默默无闻的成长过程中。
魏尔斯特拉斯，我希望你记住这个人，也了解这个人，为什么？
因为他是最后一个将微积分中各种含糊的概念做成准确修正的人。
这里不得不再提起柯西。
大家知道，柯西是19世纪法国数学界的大佬，他在法国数学史上的地位，犹如牛顿在英国，高斯在德国。
我们今天所学习的微积分，其实并不是牛顿和莱布尼茨所描述的微积分，而是经过柯西等人改造过的，严格得多的微积分。
极限是微积分里最重要的定义之一，对极限进行准确的定义要分两步。第一步是把概念搞清楚，没有含糊性，这件事是柯西完成的。
第二步就是用数学的语言将它们表述出来，这就有点反人性了。因为虽然人类对自然语言有着天然的好感，而且我说什么你很容易直观地理解我的意思，但是在数学上这可能不够严谨，以至于会导致很多悖论。
在微积分的定义上，将柯西那些直观的观念，变成严格符合逻辑的数学语言的人，是德国数学家魏尔斯特拉斯。
魏尔斯特拉斯对微积分的贡献很大。后面数学专题具体说，我们先看看主角的介绍吧！
魏尔斯特拉斯
卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）是一位杰出的德国数学家，被誉为“现代分析之父”。
他对数学领域做出了重大贡献，特别是在函数理论、变分法和阿贝尔函数理论方面。
魏尔斯特拉斯的工作帮助严格地规范和定义了极限、连续性、可微性和无穷级数，为数学分析奠定了坚实的基础。
魏尔斯特拉斯定理、魏尔斯特拉斯函数和魏尔斯特拉斯逼近定理是他众所周知的一些贡献。他的教学和研究极大地影响了数学分析的发展，并激励了许多其他数学家。
01 卡尔·魏尔斯特拉斯的数学成果
魏尔斯特拉斯被誉为“现代分析之父”，主要是因为他在数学分析领域的重要贡献。
具体来说，有几个关键原因：
1、严格性的引入：在魏尔斯特拉斯之前，数学中许多概念（如连续性、极限等）是基于直观而非严格的定义。他引入了更加精确和严格的定义，为分析数学的进一步发展奠定了基础。
2、函数理论的发展：他对函数理论作出了重要贡献。他提出的魏尔斯特拉斯函数是一个处处连续但处处不可微的函数，这一发现挑战了之前的数学直觉和理解。（后面有案例）
3、无穷级数的研究：这是无穷级数领域的工作，特别是关于收敛性的研究，为理解和操作复杂的数学结构提供了重要的工具。
4、逼近理论：任何连续函数都可以用多项式函数序列来逼近。这一定理对实数理论和复数理论都非常重要。
5、影响力和传承：他对其学生和后继者的影响深远，包括一些著名的数学家，如康托尔和米塔格-莱弗勒。他的教学和研究方法深刻影响了后来的数学发展。
当然，以魏尔斯特拉斯对“极限”的严格定义为例，我们可以更好地理解他是如何严格化数学概念的。
在魏尔斯特拉斯之前，数学中对于“极限”的理解更多是基于直觉和几何直观，而非严格的逻辑定义。
例如，人们普遍认为，一个函数序列在某点的极限是指，随着序列中的项越来越接近该点，函数值也越来越接近某个固定值。
魏尔斯特拉斯对此做出了严格的数学定义，他引入了“ε-δ语言”来定义极限。具体来说：
假设我们有一个函数
魏尔斯特拉斯的定义是：对于任意小的正数 ε（代表误差范围），总存在另一个正数 δ，使得当 x 足够靠近某个值（比如a)，即
通过这种方式，魏尔斯特拉斯为极限提供了一个精确和可操作的定义。这种定义不依赖于直观理解，而是建立在严谨的逻辑基础上，使得极限的概念变得更加清晰和精确。
这种方法的引入对数学分析产生了深远的影响，因为它使得数学理论和证明可以建立在坚实的基础之上，而非仅仅依赖于直观或几何的想法。
这种对极限的严格处理方式，也被应用于连续性、可微性等其他核心数学概念的定义，是现代数学分析的基石。
魏尔斯特拉斯在函数理论的发展中做出了重要贡献，最著名的例子之一就是他构造的处处连续但在任何点都不可微的函数，即著名的魏尔斯特拉斯函数。
这个函数的构造挑战了之前的数学直觉，改变了数学家们对函数的理解。
在魏尔斯特拉斯之前，数学家们普遍认为连续函数在大多数点上应该是可微的。然而，魏尔斯特拉斯通过构造一个特殊的函数，展示了即使是连续函数，也可能在任何点上都不可微，真是打脸！
这个函数的关键在于它是一个无穷级数。
每一项都是连续的，但当它们无限叠加时，函数的行为变得非常复杂。这种构造展示了即使是基本概念（如连续性和可微性）也可能有出乎意料的性质。
02 卡尔·魏尔斯特拉斯的生平
卡尔·威廉·特奥多尔·魏尔斯特拉斯，1815年10月31日生于德国奥斯滕费尔
德。
人们可以回想起来，1815年是滑铁卢战役的那一年，法国仍然统治着欧洲。
他的父亲是一个由法国支付薪金的海关官员，同时也是一个文化深厚的人，卡尔的成长环境受到家庭中的信仰和父亲的严格教育影响极大。
魏尔斯特拉斯一家，尽管信仰虔诚，但家庭中存在着紧张与不和谐。
卡尔的母亲对婚姻感到不满，而父亲对孩子们的未来充满了自己的理想和期望。卡尔有一个弟弟和两个妹妹，他们都在亲情和关爱中共同成长。
尽管如此，卡尔的父亲对他的未来规划过于严苛，这对年轻的卡尔来说是一种巨大的挑战。
卡尔的少年时期在韦斯特科滕度过，那里虽然环境普通，却成为了他思维和梦想的摇篮。
他的学业成绩优异，但对音乐却毫无兴趣。这样一个对数学充满热情的年轻人，在波恩大学的法学院度过了不寻常的大学生活，充满了击剑和社交活动，但他的心始终被数学所吸引。
在波恩的这段经历，没有带给他法学上的成就，却在他的心智成长中起到了重要的作用。
它治愈了他与父亲的矛盾，培养了他的人文关怀，并最终促使他成为了一名伟大的数学教师。这段经历也显示出，即使在看似失败的时刻，也可能为未来的成功埋下种子。
魏尔斯特拉斯的数学之路最终在明斯特学院开始了新的篇章。
他在这里遇到了对他影响深远的克里斯托夫·古德曼教授，开启了他在数学研究上的新天地。
他对椭圆函数的研究，以及对幂级数理论的深刻洞察，奠定了他作为“现代分析学之父”的地位。
克里斯托夫·古德曼对魏尔斯特拉斯的影响深远。古德曼对椭圆函数的热情和其在函数的幂级数展开的创新思想，深深吸引了魏尔斯特拉斯。这些想法后来成为魏尔斯特拉斯在分析学领域研究的核心。
在明斯特的一堂课上，只有魏尔斯特拉斯一人出席，这标志着两位学者之间深厚的师生关系的开始。
魏尔斯特拉斯对古德曼的教导心存感激，他在成名后总是抓住一切机会公开表达对古德曼的感激之情。这种感激不仅因为古德曼对椭圆函数的讲解，还因为他对“解析球面”这一概念的启发。
魏尔斯特拉斯26岁时参加了教师资格考试，其中他提交的一篇论文论述了苏格拉底式的教学方法。
他的教学方法备受赞誉，他成为了培养高材生的一流数学教师。魏尔斯特拉斯的教学不仅仅是对知识的传授，还激发了学生的创造力。他的课堂演讲不仅完美，还充满灵感，培养出许多富有创造力的数学家。
在教师考试中，魏尔斯特拉斯提交的一篇论文尤为深奥，其中探讨了椭圆函数的幂级数展开。这份工作显露出魏尔斯特拉斯非凡的数学才能，虽然未能立刻改变他的职业生涯，但预示了他未来的科学成就。
接下来的几年，魏尔斯特拉斯在乡村小镇的中学教书，同时进行着自己的数学研究。他的研究成果，尤其是在椭圆函数和分析函数方面的工作，虽然在当时未被广泛认识，但逐渐奠定了他在数学领域的地位。
1856年，魏尔斯特拉斯的研究引起了广泛关注，他被授予名誉博士学位，并被邀请到柏林工作。这标志着他职业生涯的转折点，他从一个默默无闻的乡村教师转变为世界级的数学家。
在柏林，魏尔斯特拉斯的教学和研究工作继续取得巨大成功，但同时也给他的健康带来了压力。
尽管面临健康挑战，他仍然坚持教学和研究，深受学生的喜爱和尊敬。他的教学方式充满激情和创造性，激励着一代又一代的数学家。
魏尔斯特拉斯的学术生涯中，他与学生之间的关系非常特别。他不仅是一位杰出的导师，也是学生们的良师益友。
他的教学和研究对数学分析产生了深远的影响，使他成为数学历史上的重要人物。
好，今天就先这样啦~
科学羊🐏 2024/01/06
祝幸福~
参考文献：
[1]. 《数学大师》
[2].https://www.dedao.cn/course/article?id=3bezDG7wBonmJwgg3MJvQkAg5PyO1x
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