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Stata：不同函数形式的半弹性计算
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连享会 · 效率分析专题
作者：文海铭 (广西大学)
邮箱：hming_wen@sina.com
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编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Using the margins command with different functional forms: Proportional versus natural logarithm changes. -Link-
目录
1. 命令简介
2. 二元变量的线性模型
3. 分类变量的线性模型
4. 非线性模型
5. expression 选项
6. 相关推文
1. 命令简介
margins 命令可以进行边际预测，以及边际效应计算，并且通过 expression() 选项，margins 可以用于任何函数形式。在本文中，我们将展示在线性模型和非线性模型中，如何计算协变量变化导致的结果变量的变化比例 (半弹性)。
2. 二元变量的线性模型
二元变量的线性模型回归后：
我们可以使用 margins, eydx(x) 命令来估计 变化导致 的变化比例 (也称为半弹性)。估计半弹性的公式取决于 是连续变量还是离散变量。如果 是连续变量，则计算公式为：
如果 是离散变量，我们可能会认为计算公式如下：
然而，这并不是 margins, eydx(x) 的计算公式。相反，margins 命令以自然对数的形式得到 的相对变化值。
例如，我们将婴儿出生体重 (bw) 对母亲年龄 (age) 和是否存在 uterine irritability (ui) 进行回归，其中 age 是连续变量，ui 是二元变量。
. webuse lbw, clear
. regress bwt age i.ui
Source | SS df MS Number of obs = 189
-------------+---------------------------------- F(2, 186) = 8.63
Model | 8484309.72 2 4242154.86 Prob > F = 0.0003
Residual | 91430988.9 186 491564.456 R-squared = 0.0849
-------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.0751
Total | 99915298.6 188 531464.354 Root MSE = 701.12
------------------------------------------------------------------------------
bwt | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | 9.439 9.678 0.98 0.331 -9.653 28.531
1.ui | -569.193 143.966 -3.95 0.000 -853.208 -285.177
_cons | 2809.271 233.138 12.05 0.000 2349.337 3269.205
------------------------------------------------------------------------------
. margins, eydx(age ui)
Average marginal effects Number of obs = 189
Model VCE: OLS
Expression: Linear prediction, predict()
ey/dx wrt: age 1.ui
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| ey/dx std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | 0.003 0.003 0.97 0.331 -0.003 0.010
1.ui | -0.208 0.057 -3.65 0.000 -0.321 -0.096
------------------------------------------------------------------------------
Note: ey/dx for factor levels is the discrete change from the base level.
当然，我们也可以手动计算 age 导致 bwt 的变化程度，具体代码如下：
. gen propage = _b[age]/(_b[_cons] + _b[age]*age + _b[1.ui]*ui)
. sum propage
Variable | Obs Mean Std. dev. Min Max
-------------+---------------------------------------------------------
propage | 189 .003225 .0002682 .0029186 .0039631
ui 导致 bw 的变化程度计算代码如下：
. preserve
. replace ui = 0
. predict bwthat0
. replace ui = 1
. predict bwthat1
. gen propui = (bwthat1 - bwthat0)/bwthat0 // 错误的计算
. gen lnbwt0 = ln(bwthat0)
. gen lnbwt1 = ln(bwthat1)
. gen propui2 = lnbwt1 - lnbwt0 // 正确的计算
. sum propui propui2
. restore
Variable | Obs Mean Std. dev. Min Max
-------------+---------------------------------------------------------
propui | 189 -.187989 .0030706 -.1935099 -.1760018
propui2 | 189 -.2082484 .0037771 -.2150636 -.1935868
margins, eydx() 命令使用对数的方法，因为该方法具有更好的数值特性。如果结果变量本身就是以对数形式存在，例如：
则 。
3. 分类变量的线性模型
现在，我将在模型中的 ui 替换为种族变量 race，其中 race = 1 代表白人，race = 2 代表黑人，race = 3 代表其他人种。
. reg bwt age i.race
Source | SS df MS Number of obs = 189
-------------+---------------------------------- F(3, 185) = 3.41
Model | 5239114.38 3 1746371.46 Prob > F = 0.0186
Residual | 94676184.2 185 511763.158 R-squared = 0.0524
-------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.0371
Total | 99915298.6 188 531464.354 Root MSE = 715.38
------------------------------------------------------------------------------
bwt | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | 6.147 10.069 0.61 0.542 -13.717 26.011
race |
Black | -366.394 160.569 -2.28 0.024 -683.176 -49.612
Other | -287.294 115.484 -2.49 0.014 -515.128 -59.460
_cons | 2953.688 255.247 11.57 0.000 2450.119 3457.257
------------------------------------------------------------------------------
. margins, expression((_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race)/(_b[_cons]+_b[age]*age)) dydx(race)
Average marginal effects Number of obs = 189
Model VCE: OLS
Expression: (_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race)/(_b[_cons]+_b[age]*age)
dy/dx wrt: 2.race 3.race
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| dy/dx std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
race |
Black | -0.118 0.051 -2.34 0.019 -0.217 -0.019
Other | -0.093 0.036 -2.58 0.010 -0.163 -0.022
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.
当然，我们可以通过如下公式进行手工计算，具体如下：
. gen double propblack = _b[2.race]/(_b[_cons] + _b[age]*age)
. gen double propother = _b[3.race]/(_b[_cons] + _b[age]*age)
. sum propblack propother
Variable | Obs Mean Std. dev. Min Max
-------------+---------------------------------------------------------
propblack | 189 -.1183368 .0012359 -.1205344 -.1134239
propother | 189 -.0927893 .0009691 -.0945124 -.0889371
4. 非线性模型
该计算可推广到非线性模型，主要区别是回归命令。在下文中，我们使用 probit 和 poisson 进行回归。
. probit low age i.race
Probit regression Number of obs = 189
LR chi2(3) = 6.62
Prob > chi2 = 0.0850
Log likelihood = -114.02581 Pseudo R2 = 0.0282
------------------------------------------------------------------------------
low | Coefficient Std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | -0.025 0.020 -1.26 0.209 -0.063 0.014
race |
Black | 0.454 0.288 1.58 0.114 -0.110 1.019
Other | 0.343 0.213 1.61 0.107 -0.074 0.760
_cons | -0.120 0.486 -0.25 0.805 -1.072 0.832
------------------------------------------------------------------------------
. margins, expression((normal(_b[_cons]+_b[age]*age+_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race) ///
> -normal(_b[_cons] + _b[age]*age))/normal(_b[_cons] + _b[age]*age)) dydx(race)
Average marginal effects Number of obs = 189
Model VCE: OIM
Expression: (normal(_b[_cons]+_b[age]*age+_b[2.race]*2.race + _b[3.race]*3.race)
-normal(_b[_cons] + _b[age]*age))/normal(_b[_cons] + _b[age]*age)
dy/dx wrt: 2.race 3.race
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| dy/dx std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
race |
Black | 0.663 0.502 1.32 0.187 -0.321 1.646
Other | 0.487 0.365 1.33 0.182 -0.229 1.203
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.
在 probit 回归中，我们通过使用母亲年龄和种族类别来计算低出生体重婴儿的概率。我们得到了黑人母亲与白人母亲、其他母亲与白人母亲的预测概率的比例变化。
. webuse dollhill3, clear
. poisson deaths smokes i.agecat, exposure(pyears)
Poisson regression Number of obs = 10
LR chi2(5) = 922.93
Prob > chi2 = 0.0000
Log likelihood = -33.600153 Pseudo R2 = 0.9321
------------------------------------------------------------------------------
deaths | Coefficient Std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
smokes | 0.355 0.107 3.30 0.001 0.144 0.565
agecat |
45–54 | 1.484 0.195 7.61 0.000 1.102 1.866
55–64 | 2.628 0.184 14.30 0.000 2.267 2.988
65–74 | 3.350 0.185 18.13 0.000 2.988 3.713
75–84 | 3.700 0.192 19.25 0.000 3.323 4.077
_cons | -7.919 0.192 -41.30 0.000 -8.295 -7.543
ln(pyears) | 1.000 (exposure)
------------------------------------------------------------------------------
. margins, expression((exp(_b[smokes]*smokes+_b[2.agecat]*2.agecat+_b[3.agecat]*3.agecat ///
> +_b[4.agecat]*4.agecat+_b[5.agecat]*5.agecat+_ b[_cons])*pyears ///
> -exp(_b[smokes]*smokes+_ b[_cons])*pyears)/(exp(_b[smokes]*smokes+_b[_cons])*pyears)) ///
> dydx(agecat)
Average marginal effects Number of obs = 10
Model VCE: OIM
Expression: (exp(_b[smokes]*smokes+_b[2.agecat]*2.agecat+_b[3.agecat]*3.agecat
+_b[4.agecat]*4.agecat+_b[5.agecat]*5.agecat+_ b[_cons])*pyears
-exp(_b[smokes]*smokes+_ b[_cons])*pyears)/(exp(_b[smokes]*smokes+_b[_cons])*pyears)
dy/dx wrt: 2.agecat 3.agecat 4.agecat 5.agecat
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| dy/dx std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
agecat |
45–54 | 3.411 0.861 3.96 0.000 1.724 5.097
55–64 | 12.839 2.543 5.05 0.000 7.856 17.823
65–74 | 27.517 5.270 5.22 0.000 17.188 37.846
75–84 | 39.451 7.776 5.07 0.000 24.211 54.691
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.
在 poisson 回归中，死亡人数由吸烟状况和年龄类别解释。预测死亡人数的比例变化是通过比较每个年龄组与基数计算出来的。margins 作用于结果的边际预测，其中预测在 ols 回归中等于 ，在 probit 回归中等于 ，在 poisson 回归中等于 。此外，margins 计算每个观察的预测，并报告平均值作为预测边际。
5. expression 选项
margins, expression() 中的函数形式可以根据需要灵活设定。让我们回到 probit 回归。
. webuse lbw, clear
. probit low c.age##i.race
Probit regression Number of obs = 189
LR chi2(5) = 8.16
Prob > chi2 = 0.1475
Log likelihood = -113.25455 Pseudo R2 = 0.0348
------------------------------------------------------------------------------
low | Coefficient Std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | -0.033 0.027 -1.24 0.215 -0.086 0.019
race |
Black | -0.971 1.282 -0.76 0.449 -3.483 1.541
Other | 0.433 1.044 0.41 0.678 -1.613 2.478
race#c.age |
Black | 0.065 0.056 1.15 0.249 -0.046 0.176
Other | -0.005 0.045 -0.10 0.917 -0.093 0.083
_cons | 0.090 0.652 0.14 0.891 -1.189 1.368
------------------------------------------------------------------------------
. margins, eydx(age)
Average marginal effects Number of obs = 189
Model VCE: OIM
Expression: Pr(low), predict()
ey/dx wrt: age
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| ey/dx std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | -0.032 0.023 -1.36 0.174 -0.078 0.014
------------------------------------------------------------------------------
下面是获得 margin, eydx(age) 的函数形式：
在 expression() 选项中，对于像线性预测这样的事情，不需要写出表达式。因此，上述比例变化可以通过如下方式计算得到：
. margins, expression((_b[age] + _b[2.race#c.age]*2.race + _b[3.race#c.age]* ///
> 3.race)*normalden(predict(xb)) / normal(predict(xb)))
Predictive margins Number of obs = 189
Model VCE: OIM
Expression: (_b[age] + _b[2.race#c.age]*2.race + _b[3.race#c.age]*
3.race)*normalden(predict(xb))/normal(predict(xb))
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| Margin std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
_cons | -0.032 0.023 -1.36 0.174 -0.078 0.014
------------------------------------------------------------------------------
其中 predict(xb) 为快捷式，表示线性预测。此外，normal(predict(xb)) 可以用 predict(pr) 代替，pr 代表阳性结果的概率。margins 中的 expression() 选项允许我们构造任何带有估计参数的函数，并将它们返回给 margins。然后，我们可以使用所有的计算和图形工具 marginsplot 来可视化结果。
. quietly margins r.race, expression((_b[age] + _b[2.race#c.age]*2.race ///
> + _b[3.race#c.age]*3.race)*normalden(predict(xb))/normal(predict(xb))) ///
> at(age=(14(5)50))
. quietly marginsplot, noci ytitle("expression in -margins-")
6. 相关推文
Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 边际效应, m
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ssc install lianxh, replace
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