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Stata：自回归分布滞后 (ARDL)模型简介
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连享会 · 2022 暑期班
作者：陈卓然 (中山大学)
邮箱：chenzhr25@mail2.sysu.edu.cn
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目录
1. 模型简介
2. 命令介绍
3. EC 表示
4. 长期关系的检验
5. 拓展
6. 相关推文
1. 模型简介
自回归分布滞后模型 (ARDL)一直被用来刻画单一时间序列方程中的变量关系。因为非平稳变量的协整等价于一个误差修正模型，而将误差修正模型进行化简之后即可得到自回归分布滞后模型。具体模型形式如下：
其中，，。为简化起见，这里假定对于所有 维向量 的滞后阶数都相同。可以看出这个模型中同时包含了自回归和分布滞后两种模型，因此其同时考虑了序列相关性和动态影响，Hansen 2021 指出如果滞后阶数 和 足够大，那么 ARDL 模型的误差将近似为白噪音。在 ARDL 中长期乘数因子为：
长期乘数因子代表了在长期 对于 的累计影响。
2. 命令介绍
命令安装：
ssc install ardl, replace命令语法：
ardl depvar [indepvars] [if] [in] [,options]常用选项 lags(numlist) 指定某些变量的滞后阶数。对于未指定的变量 ，Stata 将采用下面的几个准则进行选择：
使用 Akaike 信息准则来进行最优化： aic使用 Bayesian 信息准则来进行最优化： bic为模型选择设定最大的滞后阶数： maxlags(numlist)
Stata 默认准则为 lags(.) bic maxlags(4)。此外，选项 maxcrit(name) 将信息准则储存在一个矩阵中。
经典复现：
我们采用西德的一份季度宏观数据进行演示，数据内容详见「New Introduction to Multiple Time Series Analysis」。
. webuse lutkepohl2, clear //导入数据
. * ardl估计
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv, lags(. . 0) aic maxlags(. 2 .) matcrit(lagcombs)
ARDL(4,1,0) regression
Sample: 1961q1 thru 1982q4 Number of obs = 88
F(7, 80) = 49993.34
Prob > F = 0.0000
R-squared = 0.9998
Adj R-squared = 0.9998
Log likelihood = 304.37474 Root MSE = 0.0080
------------------------------------------------------------------------------
ln_consump | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ln_consump |
L1. | 0.457 0.106 4.29 0.000 0.245 0.669
L2. | 0.325 0.113 2.88 0.005 0.101 0.550
L3. | 0.105 0.109 0.96 0.340 -0.113 0.322
L4. | -0.163 0.085 -1.91 0.059 -0.333 0.007
ln_inc |
--. | 0.463 0.078 5.90 0.000 0.307 0.619
L1. | -0.203 0.097 -2.10 0.039 -0.395 -0.011
ln_inv | 0.008 0.012 0.68 0.500 -0.016 0.032
_cons | 0.037 0.014 2.60 0.011 0.009 0.066
------------------------------------------------------------------------------
. mat li lagcombs
lagcombs[12,4]
ln_consump ln_inc ln_inv aic
r1 1 0 0 -585.22447
r2 1 1 0 -585.39189
r3 1 2 0 -583.87371
r4 2 0 0 -590.66282
r5 2 1 0 -592.6904
r6 2 2 0 -591.62065
r7 3 0 0 -588.69163
r8 3 1 0 -590.82776
r9 3 2 0 -589.69502
r10 4 0 0 -590.03936
r11 4 1 0 -592.75151
r12 4 2 0 -592.13348
. estat ic
Akaike's information criterion and Bayesian information criterion
-----------------------------------------------------------------------------
Model | N ll(null) ll(model) df AIC BIC
-------------+---------------------------------------------------------------
. | 88 -64.51057 304.3747 8 -592.7495 -572.9308
-----------------------------------------------------------------------------
Note: BIC uses N = number of observations. See [R] BIC note.最优滞后阶数的选择速度有两种模式：快速版和慢速版，取决于选项 nofast。
. timer on 1
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv,aic dots noheader
. timer off 1
. timer on 2
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv,aic dots noheader nofast
. timer off 2
. timer list 1
1: 0.02 / 1 = 0.0230
. timer list 2
2: 0.92 / 1 = 0.9160可以看到在不加 nofast 选项时，运算速度提高了一倍以上。需要注意的是：最优模型选择的是 aic 或者 bic 最小的模型，而且信息准则的比较要在样本保持不变的前提下进行，否则是不可比的。此外，大家会好奇，为什么 ardl 会设置 fast 和 nofast 选项？
这是因为 fast 选项基于 Mata 算法来获得最优滞后阶数，而这背后的代价是信息准则的值可能与 estat ic 得到的结果有细微差别。但是这种差别并不影响模型的排序，也就不会影响最优滞后阶数的选择。nofast 选项背后的算法是 regress 命令，因而尽管运行速度有些慢，但是结果和 estat ic 是一致的。
3. EC 表示
我们将式 (1) 重新整理为误差修正模型的形式，即：
其中调整速度系数 ，长期系数为 。这一设定是 ardl 中的选项 ec。另外一种误差修正模型的形式为：
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv, aic ec noheader
------------------------------------------------------------------------------
D.ln_consump | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ |
ln_consump |
L1. | -0.368 0.041 -9.06 0.000 -0.449 -0.287
-------------+----------------------------------------------------------------
LR |
ln_inc | 1.001 0.027 37.76 0.000 0.949 1.054
ln_inv | -0.040 0.031 -1.30 0.197 -0.102 0.021
-------------+----------------------------------------------------------------
SR |
ln_consump |
LD. | -0.325 0.079 -4.12 0.000 -0.482 -0.168
ln_inv |
D1. | 0.080 0.019 4.30 0.000 0.043 0.118
LD. | 0.043 0.019 2.21 0.030 0.004 0.082
L2D. | 0.066 0.018 3.62 0.001 0.030 0.102
L3D. | 0.053 0.018 2.86 0.005 0.016 0.090
_cons | 0.047 0.011 4.24 0.000 0.025 0.069
------------------------------------------------------------------------------
. ardl ln_consump ln_inc ln_inv, aic ec1 noheader
------------------------------------------------------------------------------
D.ln_consump | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ |
ln_consump |
L1. | -0.368 0.041 -9.06 0.000 -0.449 -0.287
-------------+----------------------------------------------------------------
LR |
ln_inc |
L1. | 1.001 0.027 37.76 0.000 0.949 1.054
ln_inv |
L1. | -0.040 0.031 -1.30 0.197 -0.102 0.021
-------------+----------------------------------------------------------------
SR |
ln_consump |
LD. | -0.325 0.079 -4.12 0.000 -0.482 -0.168
ln_inc |
D1. | 0.368 0.042 8.87 0.000 0.286 0.451
ln_inv |
D1. | 0.066 0.018 3.64 0.000 0.030 0.102
LD. | 0.043 0.019 2.21 0.030 0.004 0.082
L2D. | 0.066 0.018 3.62 0.001 0.030 0.102
L3D. | 0.053 0.018 2.86 0.005 0.016 0.090
_cons | 0.047 0.011 4.24 0.000 0.025 0.069
------------------------------------------------------------------------------
. ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) aic ec noheader
------------------------------------------------------------------------------
D.ln_consump | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ |
ln_consump |
L1. | -0.379 0.042 -9.00 0.000 -0.463 -0.295
-------------+----------------------------------------------------------------
LR |
ln_inc | 0.967 0.004 244.44 0.000 0.959 0.975
-------------+----------------------------------------------------------------
SR |
ln_consump |
LD. | -0.347 0.081 -4.30 0.000 -0.508 -0.186
L2D. | -0.107 0.079 -1.36 0.178 -0.265 0.050
ln_inv |
D1. | 0.076 0.018 4.29 0.000 0.041 0.111
LD. | 0.042 0.019 2.20 0.030 0.004 0.080
L2D. | 0.068 0.019 3.66 0.000 0.031 0.105
L3D. | 0.049 0.018 2.70 0.008 0.013 0.084
_cons | 0.050 0.011 4.41 0.000 0.028 0.073
------------------------------------------------------------------------------长期系数 在 LR 部分报告，他们代表着解释变量对被解释变量的一般均衡影响； 负的调整速度系数 在 ADJ 部分报告，它刻画的是被解释变量对于偏离均衡时的反应，或者说是对于偏离均衡的修正速度； 短期系数 和 在 SR部分报告，他们代表不能由偏离长期均衡解释的部分；解释变量可以是一阶单整 或者平稳的 ； 解释变量必须是弱外生的，也就是说他们与被解释变量只能存在至多一个协整关系； 默认情况下，每一个解释变量都被包含在长期关系当中，但如果有只影响短期关系的平稳变量可以通过选项 exog(varlist)来指定，这样 Stata 就不会将其进行一阶差分转化，然后进行最优滞后阶数的选择了。
4. 长期关系的检验
Pesaran 等 (2001) 提出 bounds test，其检验步骤如下：
使用 统计量检验联合假设：
如果 被拒绝，使用 统计量检验单一假设 ；
如果 被拒绝，使用传统的 统计量检验 是否显著异于 0。
如果上述三个原假设都被拒绝了，就意味着存在一个长期协整关系。在第一步和第二步中统计量的分布是非标准的，取决于自变量的协整阶数。Kripfganz 和 Schneider (2018) 使用响应表面回归去获得了有限样本和渐进临界值以及近似的 值。这些临界值取决于自变量的个数，协整阶数，短期系数的个数以及是否包含一个截距项和时间趋势项。
ardl 关于确定性模型成分的选项：
无截距，无趋势： noconstant；有约束的截距，没有趋势： restricted；无约束的截距，没有趋势：默认； 无约束的截距，有约束的趋势： trebd(varname)和restricted；无约束的截距，无约束的趋势： trend(varname)。
决策准则：
如果检验统计量相比于临界值的下界更接近于 0 的话，就不能拒绝 或者 ； 如果检验统计量比临界值的上界还要极端的话，就可以拒绝 或者 。
Bounds test 的前两步检验可以通过 ardl 估计后命令 estat ectest 来进行，默认情况下会提供有限样本在 1%，5% 以及 10% 下的临界值，渐进临界值可以通过选项 asymptotic 来呈现。第三步的检验统计量符合通常的渐进标准正态分布，与自变量的协整阶数无关。
. estat ectest
Pesaran, Shin, and Smith (2001) bounds test
H0: no level relationship F = 40.952
Case 3 t = -9.002
Finite sample (1 variables, 88 observations, 6 short-run coefficients)
Kripfganz and Schneider (2020) critical values and approximate p-values
| 10% | 5% | 1% | p-value
| I(0) I(1) | I(0) I(1) | I(0) I(1) | I(0) I(1)
---+------------------+------------------+------------------+-----------------
F | 4.032 4.831 | 4.958 5.844 | 7.071 8.121 | 0.000 0.000
t | -2.550 -2.899 | -2.861 -3.225 | -3.470 -3.854 | 0.000 0.000
do not reject H0 if
either F or t are closer to zero than critical values for I(0) variables
(if either p-value > desired level for I(0) variables)
reject H0 if
both F and t are more extreme than critical values for I(1) variables
(if both p-values < desired level for I(1) variables)
decision: no rejection (.a), inconclusive (.), or rejection (.r) at levels:
| 10% 5% 1%
-------------+---------------------------------
decision | .r .r .r
. * EC model with restricted trend
. ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) trend(qtr) aic ec restricted noheader
. estat ectest
Pesaran, Shin, and Smith (2001) bounds test
H0: no level relationship F = 31.557
Case 4 t = -7.910
Finite sample (1 variables, 88 observations, 6 short-run coefficients)
Kripfganz and Schneider (2020) critical values and approximate p-values
| 10% | 5% | 1% | p-value
| I(0) I(1) | I(0) I(1) | I(0) I(1) | I(0) I(1)
---+------------------+------------------+------------------+-----------------
F | 4.066 4.583 | 4.784 5.351 | 6.396 7.057 | 0.000 0.000
t | -3.108 -3.385 | -3.413 -3.705 | -4.014 -4.327 | 0.000 0.000
do not reject H0 if
either F or t are closer to zero than critical values for I(0) variables
(if either p-value > desired level for I(0) variables)
reject H0 if
both F and t are more extreme than critical values for I(1) variables
(if both p-values < desired level for I(1) variables)
decision: no rejection (.a), inconclusive (.), or rejection (.r) at levels:
| 10% 5% 1%
-------------+---------------------------------
decision | .r .r .r
Bounds test 的有效性依赖于正态分布的误差项是同方差且序列不相关。因此如果怀疑存在序列相关问题，就增加滞后阶数，然后进行信息准则的筛选。除了 estat ectest 之外，ardl 命令也支持标准的 Stata 估计后命令，如 estat ic、estimates、lincom、nlcom、test、testnl、lrtest。
采用 predict 命令可以获得拟合值 (选项 xb) 和残差 (选项 residuals)，也可以使用 ec 或者 eci 选项来得到均衡修正项：
ardl, ec：ardl, ec1：
最终的 ardl 的估计结果可以通过 regstore(name) 的方式储存起来，然后通过 estimates restore name 的方式来调用。之后我们可以采用如下的若干命令来进行估计后检验：
estat hettest和estat imtest用来对异方差和正态性进行检验；estat bgodfrey和estat durbinalt用来对序列相关进行检验；estat sbcusum,estat sbknown和estat sbsingle用来对结构性断裂进行检验。
. * 序列相关检验
. quietly ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) trend(qtr) aic ec regstore(ardlreg)
. estimates restore ardlreg
. estat bgodfrey, lags(1/4) small
Breusch–Godfrey LM test for autocorrelation
---------------------------------------------------------------------------
lags(p) | F df Prob > F
-------------+-------------------------------------------------------------
1 | 0.116 ( 1, 77 ) 0.7341
2 | 0.068 ( 2, 76 ) 0.9340
3 | 0.364 ( 3, 75 ) 0.7791
4 | 0.453 ( 4, 74 ) 0.7702
---------------------------------------------------------------------------
H0: no serial correlation
. estat durbinalt, lags(1/4) small
Durbin's alternative test for autocorrelation
---------------------------------------------------------------------------
lags(p) | F df Prob > F
-------------+-------------------------------------------------------------
1 | 0.102 ( 1, 77 ) 0.7505
2 | 0.059 ( 2, 76 ) 0.9426
3 | 0.314 ( 3, 75 ) 0.8150
4 | 0.389 ( 4, 74 ) 0.8162
---------------------------------------------------------------------------
H0: no serial correlation
. * 异方差检验
. estat hettest
Breusch–Pagan/Cook–Weisberg test for heteroskedasticity
Assumption: Normal error terms
Variable: Fitted values of D.ln_consump
H0: Constant variance
chi2(1) = 0.26
Prob > chi2 = 0.6067
. estat imtest, white
White's test
H0: Homoskedasticity
Ha: Unrestricted heteroskedasticity
chi2(54) = 52.03
Prob > chi2 = 0.5508
Cameron & Trivedi's decomposition of IM-test
--------------------------------------------------
Source | chi2 df p
---------------------+----------------------------
Heteroskedasticity | 52.03 54 0.5508
Skewness | 12.24 9 0.2000
Kurtosis | 0.02 1 0.8967
---------------------+----------------------------
Total | 64.29 64 0.4664
--------------------------------------------------
. * 正态性检验
. predict resid, res
. sktest resid
Skewness and kurtosis tests for normality
----- Joint test -----
Variable | Obs Pr(skewness) Pr(kurtosis) Adj chi2(2) Prob>chi2
-------------+-----------------------------------------------------------------
resid | 88 0.3270 0.8107 1.04 0.5939
. qnorm resid. * 结构性断裂检验
. estat sbcusum
Cumulative sum test for parameter stability
Sample: 1961q1 thru 1982q4 Number of obs = 88
H0: No structural break
Test -------- Critical value ---------
Type statistic 1% 5% 10%
--------------------------------------------------------------
Recursive 1.4690 1.1430 0.9479 0.8499
--------------------------------------------------------------. estat sbcusum, ols
Cumulative sum test for parameter stability
Sample: 1961q1 thru 1982q4 Number of obs = 88
H0: No structural break
Test -------- Critical value ---------
Type statistic 1% 5% 10%
--------------------------------------------------------------
OLS 0.6793 1.6276 1.3581 1.2238
--------------------------------------------------------------. estat sbsingle, all
Test for a structural break: Unknown break date
Full sample: 1961q1 thru 1982q4
Trimmed sample: 1964q3 thru 1979q3
H0: No structural break
Number of obs = 88
-------------------------------------------
Test Statistic p-value
-------------------------------------------
Supremum Wald 20.1088 0.3040
Average Wald 13.9245 0.1019
Exponential Wald 7.9897 0.1939
Supremum LR 22.7977 0.1605
Average LR 16.3306 0.0330
Exponential LR 9.3047 0.0886
-------------------------------------------
Exogenous variables: L.ln_consump ln_inc LD.ln_consump
L2D.ln_consump D.ln_inv LD.ln_inv L2D.ln_inv L3D.ln_inv qtr
Coefficients included in test: L.ln_consump ln_inc
LD.ln_consump L2D.ln_consump D.ln_inv LD.ln_inv L2D.ln_inv
L3D.ln_inv qtr _cons
. estat sbsingle, breakvars(L.ln_consump ln_inc) all
Test for a structural break: Unknown break date
Full sample: 1961q1 thru 1982q4
Trimmed sample: 1964q3 thru 1979q3
H0: No structural break
Number of obs = 88
-------------------------------------------
Test Statistic p-value
-------------------------------------------
Supremum Wald 8.9039 0.1457
Average Wald 2.5060 0.2608
Exponential Wald 2.0321 0.1738
Supremum LR 9.7492 0.1046
Average LR 2.8269 0.2027
Exponential LR 2.3571 0.1225
-------------------------------------------
Exogenous variables: L.ln_consump ln_inc LD.ln_consump
L2D.ln_consump D.ln_inv LD.ln_inv L2D.ln_inv L3D.ln_inv qtr
Coefficients included in test: L.ln_consump ln_inc
5. 拓展
ardl 命令也可以用来估计不带自变量的自回归模型。此时，bounds test 收敛到我们熟悉的扩展 DF 单位根检验。forecast 也可以帮助我们在使用 ardl 之后进行模型的预测。ardl 并不计算稳健标准误，但是一旦最优滞后阶数被得到之后，最终的模型可以使用 newey 命令重新估计以获得 Newey-West 标准误。
. ardl dln_inv, aic ec restricted
ARDL(4) regression
Sample: 1961q2 thru 1982q4 Number of obs = 87
R-squared = 0.6462
Adj R-squared = 0.6289
Log likelihood = 154.12285 Root MSE = 0.0424
------------------------------------------------------------------------------
D.dln_inv | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ADJ |
dln_inv |
L1. | -0.755 0.230 -3.29 0.001 -1.212 -0.299
-------------+----------------------------------------------------------------
LR |
_cons | 0.015 0.006 2.48 0.015 0.003 0.027
-------------+----------------------------------------------------------------
SR |
dln_inv |
LD. | -0.463 0.201 -2.31 0.023 -0.862 -0.064
L2D. | -0.494 0.158 -3.13 0.002 -0.808 -0.180
L3D. | -0.313 0.103 -3.04 0.003 -0.518 -0.108
------------------------------------------------------------------------------
. estat ectest
Pesaran, Shin, and Smith (2001) bounds test
H0: no level relationship F = 5.478
Case 2 t = -3.290
Finite sample (0 variables, 87 observations, 3 short-run coefficients)
Kripfganz and Schneider (2020) critical values and approximate p-values
| 10% | 5% | 1% | p-value
| I(0) I(1) | I(0) I(1) | I(0) I(1) | I(0) I(1)
---+------------------+------------------+------------------+-----------------
F | 3.822 3.811 | 4.675 4.657 | 6.641 6.597 | 0.026 0.025
t | -2.565 -2.569 | -2.869 -2.874 | -3.462 -3.471 | 0.016 0.017
do not reject H0 if
either F or t are closer to zero than critical values for I(0) variables
(if either p-value > desired level for I(0) variables)
reject H0 if
both F and t are more extreme than critical values for I(1) variables
(if both p-values < desired level for I(1) variables)
decision: no rejection (.a), inconclusive (.), or rejection (.r) at levels:
| 10% 5% 1%
-------------+---------------------------------
decision | .r .r .a
. * ADF 检验
. dfuller dln_inv, lags(3) regress
Augmented Dickey–Fuller test for unit root
Variable: dln_inv Number of obs = 87
Number of lags = 3
H0: Random walk without drift, d = 0
Dickey–Fuller
Test -------- critical value ---------
statistic 1% 5% 10%
--------------------------------------------------------------
Z(t) -3.290 -3.528 -2.900 -2.585
--------------------------------------------------------------
MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0153.
Regression table
------------------------------------------------------------------------------
D.dln_inv | Coefficient Std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
dln_inv |
L1. | -0.755 0.230 -3.29 0.001 -1.212 -0.299
LD. | -0.463 0.201 -2.31 0.023 -0.862 -0.064
L2D. | -0.494 0.158 -3.13 0.002 -0.808 -0.180
L3D. | -0.313 0.103 -3.04 0.003 -0.518 -0.108
|
_cons | 0.011 0.006 1.88 0.063 -0.001 0.023
------------------------------------------------------------------------------
. * 预测
. qui ardl ln_consump ln_inc ln_inv if qtr<tq(1981q1), trendvar(qtr)
. est sto ardl
. forecast create ardl,replace
. forecast estimates ardl, predict(xb)
. forecast exogenous ln_inc ln_inv qtr
. forecast solve, begin(tq(1981q1))
. twoway (tsline f_ln_consump if qtr>=tq(1979q1)) ///
(tsline ln_consump if qtr>=tq(1979q1)), tline(1981q1)
. * Newey-West standard errors
. quietly ardl ln_consump ln_inc, exog(L(0/3)D.ln_inv) trend(qtr) aic regstore(ardlreg)
. quietly estimates restore ardlreg
. local cmdline `"`e(cmdline)'"'
. di "`cmdline'"
. gettoken cmd cmdline : cmdline
. di "`cmdline'"
. newey `cmdline' lag(4)
Regression with Newey–West standard errors Number of obs = 88
Maximum lag = 4 F( 9, 78) = 62645.21
Prob > F = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
| Newey–West
ln_consump | Coefficient std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
ln_consump |
L1. | 0.223 0.093 2.39 0.019 0.037 0.408
L2. | 0.246 0.100 2.45 0.016 0.047 0.446
L3. | 0.190 0.101 1.87 0.065 -0.012 0.392
ln_inc | 0.390 0.040 9.75 0.000 0.310 0.470
ln_inv |
D1. | 0.084 0.026 3.27 0.002 0.033 0.136
LD. | 0.052 0.016 3.27 0.002 0.020 0.083
L2D. | 0.073 0.016 4.63 0.000 0.041 0.104
L3D. | 0.048 0.017 2.78 0.007 0.014 0.083
qtr | -0.001 0.000 -3.25 0.002 -0.002 -0.000
_cons | -0.319 0.110 -2.89 0.005 -0.539 -0.099
------------------------------------------------------------------------------. * 长期系数的检验
. nlcom _b[ln_inc] / (1 - _b[L.ln_consump] - _b[L2.ln_consump] - _b[L3.ln_consump])
------------------------------------------------------------------------------
ln_consump | Coefficient Std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
_nl_1 | 1.144 0.069 16.54 0.000 1.008 1.279
------------------------------------------------------------------------------
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